Question

有一块实验题，形如图的直角△ABC，其中∠C=90°，AC=50米，BC=120米，拟在边BC和BA之间开出一条水渠，即图示中线段MN，并且使这条水渠恰好能平分该实验题的面积．为节省人力、物力，要使这条水渠最短．问：应如何设计？水渠最短的长度为多少米？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：利用

S△BMN

S△BCA

=

BM•BN

BC•BA

=

1

2

，求出BM•BN，在△MBN中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出结论．

解答： 解：首先

S△BMN

S△BCA

=

BM•BN

BC•BA

=

1

2

⇒BM•BN=

1

2

•120•130=7800…（2分）
在△MBN中，注意到cosB=

12

13

，
由余弦定理得MN=

BM2+BN2-2BM•BN•cosB

=

BM2+BN2-14400

≥

2BM•BN-14400

=20

3

…（8分）
取等条件是BM=BN=10

78

，
答：当BM=BN=10

78

米时，水渠长度的最小值为20

3

米．…（12分）

点评：本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．