Question

已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，且a=2c=2．
（1）求

sinA+sinC

a+c

的值；
（2）求函数f(x)=

3

sin(x+B)-cos(x+B)在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB的值代入求出b的值，确定出三角形ABC中A与C的度数，代入原式计算即可得到结果；
（2）f（x）解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，将B的值代入，利用正弦函数的增减性即可确定出f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，即B=60°，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=1+4-2=3，即b=

3

，
∴△ABC是直角三角形，且A=90°，C=30°，
∴原式=

sin90°+sin30°

2+1

=

1

2

；
（2）函数f（x）=

3

sin（x+B）-cos（x+B）=2sin（x+B-

π

6

）=2sin（x+

π

6

），
∵函数f（x）=2sin（x+

π

6

）在[0，

π

4

]上是增函数，
∴函数f（x）的最大值为f（

π

4

）=2sin（

π

4

+

π

6

）=

6 + 2

2

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．