Question

已知△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知△ABC周长为6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比数列．
求：
（1）∠B的取值范围；
（2）边b的取值范围；
（3）

BA

•

BC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC周长为6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比数列，结合余弦定理，可求∠B的取值范围；
（2）利用基本不等式，确定b的范围，再利用三角形的周长为6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比数列，可得不等式，从而确定b的取值范围；
（3）利用向量的数量积公式，及三角形的周长，结合b的范围，即可求得

BA

•

BC

的最小值．

解答：解：（1）设|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，故有0＜B≤

π

3

，
（2）b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，从而0＜b≤2
∵△ABC三边依次为a，b，c，∴（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac
∴b²＞（a+c）²-4ac，∴b²+3b-9＞0，∴b＞

-3+3 5

2

，∴

-3+3 5

2

＜b≤2
（3）

BA

•

BC

=accosB=

a2+c2-b2

2

=

(a+c)2-2ac-b2

2

=

(6-b)2-3b2

2

=-(b+3)2+27
∵

-3+3 5

2

＜b≤2，
∴b=2时，

BA

•

BC

的最小值为2．

点评：本题考查数列知识，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．