Question

已知函数f（x）=

log5|x-5|，(x≠5) 3 ，(x=5)

，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，则f（x₁+x₂+…+x₅）=

1+2lo

g

2 5

．

Answer 1

分析：由函数的解析式可得，函数f（x）的图象关于直线x=5对称，再由题意可得，五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，也关于直线x=5对称，故有x₁+x₂+…+x₅=25，
再根据 f（x₁+x₂+…+x₅）=f（25），运算求得结果．

解答：解：∵已知函数f（x）=

log5|x-5|，(x≠5) 3 ，(x=5)

，故有f（5）=3．
根据当x＞5时，f（x）=log₅（x-5），当x＜5时，f（x）=log₅（5-x），
可得函数f（x）的图象关于直线x=5对称．
再根据关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，
可得这5个根x₁，x₂，…，x₅ 也关于直线x=5对称，
∴x₁+x₂+…+x₅ =25，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（25）=log₅20=1+log₅4，=1+2log₅2，
故答案为  1+2log₅2．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，关键是根据函数的图象关于x=5对称，得出5个根也关于直线x=5对称，从而求得x₁+x₂+…+x₅ =25，属于中档题．