Question

17．有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：
（1）5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？
（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2步进行分析：①、甲、戊不在两端，在中间的三个位置任选2个，安排甲、戊2人，②、将乙、丙、丁三人安排在剩下的三个位置，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分3步进行分析：①、将甲乙看成一个整体，考虑甲乙之间的顺序，②、将这个整体与戊2人全排列，分析排好后的空位，③、在3个空位中任选2个，安排丙丁，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）分2步进行分析：①、将5个同学分成3组，②、将分好的三组对应三个班，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、甲、戊不在两端，在中间的三个位置任选2个，安排甲、戊2人，有A₃²=6种排法，
②、将乙、丙、丁三人安排在剩下的三个位置，有A₃³=6种排法，
则甲、戊不在两端有$A_3^2×A_3^3=36$种排法；
（2）分3步进行分析：
①、将甲乙看成一个整体，考虑甲乙之间的顺序，有A₂²=2种情况，
②、将这个整体与戊2人全排列，有A₂²=2种顺序，排好后，有3个空位，
③、在3个空位中任选2个，安排丙丁，有A₃²=6种情况，
则共有2×2×6=24种不同的排列方法；
（3）分2步进行分析：
①、将5个同学分成3组，
若分成1、1、3的三组，有$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{A}_{2}^{2}}$=10种分法，
若分成1、2、2的三组，有$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=15种分法，
则一共有10+15=25种分组方法；
②、将分好的三组对应三个班，有A₃³=6种情况，
则一共有25×6=150种不同的分配方法．

点评 本题考查排列、组合的应用，注意常见问题的处理方法．（2）运用捆绑法与插空法来分析相邻与不相邻问题，（3）注意分类讨论的应用．