Question

（几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为    ．

Answer 1

【答案】分析：取AD中点M，连接OD、OM、OP、OA，可得OM⊥CD且OP⊥AB．Rt△OPA中运用勾股定理算出OA=4，根据相交弦定理和题中数据算出弦CD=10，从而在Rt△OMD中用勾股定理算出OM=，即得圆心O到CD的距离．
解答：解：取AD中点M，连接OD、OM、OP、OA，
根据圆的性质，OM⊥CD，OM即为O到CD的距离
∵PA=PB=4，即P为AB中点，
∴OP⊥AB，可得OP=4．
Rt△OPA中，OA==4
∵PA=PB=4，PD=4PC，
∴由PA•PB=PC•PD，即4²=4PC²，可得PC=2
因此，PD=4PC=8，得CD=10
∴Rt△OMD中，DM=CD=5，OD=OA=4
可得OM==
故答案为：
点评：本题给出圆的相交弦，在已知交点分弦的比值情况下求弦到圆心的距离，着重考查了相交弦定理、垂径定理等圆的常用性质的知识，属于基础题．