Question

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
（1）（几何证明选讲选做题）如图，点A，B，C是圆O上的点，且BC=6，∠BAC=120°，则圆O的面积等于

12π

．
（2）（不等式选讲选做题）若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则实数m的取值范围为

（-2，8）

．
（3）（极坐标与参数方程选讲选做题）设曲线C的参数方程为

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

（θ为参数），直线l的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为

7 10

10

的点的个数有

2

个．

Answer 1

分析：（1）根据点A，B，C是圆O上的点，得出三角形是圆内接三角形，再利用正弦定理求出圆的半径，最后求出面积．
（2）首先分析题目x满足不等式|x-3|+|x-m|＜5，求实数a的取值范围，故可设f（x）=|x-3|+|x-m|，再利用绝对值不等式的性质求函数的最小值，要使不等式有实数解，只要5大于f（x）的最小值，即可得到答案．
（3）将圆C的方程化为一般方程，可以计算圆心到直线l距离，结合圆的半径为3，即可得出结论．

解答：解：（1）在三角形ABC中，2R=

BC

sinA

=

6

sin120°

=4

3

，
则圆的直径为4

3

，半径为2

3

，
面积为(2

3

)2π=12π．
故答案为：12π．
（2）设f（x）=|x-3|+|x-m|，由于|x-3|+|x-m|≥f（x）=|x-3-（x-m）|=|m-3|，
∴f（x）的最小值为|m-3|，
又因为存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，只要5大于f（x）的最小值即可．
即|m-3|＜5
解得：m∈（-2，8）
所以a的取值范围是（-2，8）．
故答案为：（-2，8）．
（3）化曲线C的参数方程为普通方程：（x-2）²+（y+1）²=9，
∵圆心（2，-1）到直线x-3y+2=0的距离 d=

|2-3×(-1)+2|

10

=

7 10

10

＜3，
∴直线和圆相交，且过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，
又∵

7 10

10

＞3-

7 10

10

，
∴在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，
故答案为：2．

点评：（1）此题主要考查圆及圆内接三角形，考查正弦定理求解三角形．
（2）此题主要考查绝对值不等式的解法，对于含有一个绝对值的不等式可以直接去绝对值号求解，对于含有两个绝对值号的绝对值不等式需要用利用绝对值不等式的性质．同学们需要注意选择合适的解法．
（3）本题以圆的参数方程为载体，考查点线距离公式的运用，解题的关键是判断直线与圆的位置关系，利用圆的图形，从而得解．