Question

16．已知向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cosnθ，sinnθ），$\overrightarrow{{b}_{n}}$=（sinnθ，cosnθ）（n∈N^*，θ∈R ），则|${\overrightarrow{a}}_{n}^{2}{•\overrightarrow{b}}_{n}^{3}$|=1，动点P（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$，|${\overrightarrow{a}}_{n}^{2}{•\overrightarrow{b}}_{n}^{3}$|）的轨迹是线段，方程为y=1（-1≤x≤1）．

Answer 1

分析 利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cosnθ，sinnθ），$\overrightarrow{{b}_{n}}$=（sinnθ，cosnθ）（n∈N^*，θ∈R ），
∴|${\overrightarrow{a}}_{n}^{2}{•\overrightarrow{b}}_{n}^{3}$|=1；
设P（x，y），则x=$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$=（cosnθ，sinnθ）•（sinnθ，cosnθ）=sin2nθ，y=1，
∴动点P（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$，|${\overrightarrow{a}}_{n}^{2}{•\overrightarrow{b}}_{n}^{3}$|）的轨迹是线段，方程为y=1（-1≤x≤1）．
故答案为：1；线段，方程为y=1（-1≤x≤1）．

点评 本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，正确运用向量的数量积公式是关键．