Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 ，左焦点到左顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的方程为 =1（a＞b＞0），半焦距为c．

依题意e= ，

由左焦点到左顶点的距离为1，得a﹣c=1．

解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．

所以椭圆C的标准方程是

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵点M（1，1）为弦AB中点，∴ ，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C的标准方程 ．

得： ，∴3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

∴6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，

∴k= =﹣ ，

∴直线AB的方程为y﹣1=﹣ （x﹣1），整理，得：3x+4y﹣7=0．

∴直线AB的方程为：3x+4y﹣7=0

【解析】（1）由椭圆离心率为 ，左焦点到左顶点的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由点M（1，1）为弦AB中点，利用点差法能求出直线AB的方程．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．