Question

【题目】在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.

（1）若,，且的面积为，求的值；

（2）若 ，试判断△ABC的形状．

Answer 1

【答案】（1） a＝2，b＝2 （2）等腰三角形或直角三角形

【解析】

试题分析：（1）根据余弦定理，得，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；

（2）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论．

试题解析：（1） ∵c＝2， ，

∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.

又∵△ABC的面积为，∴absinC＝，∴ab＝4.

联立方程组解得a＝2，b＝2.

（2）由sinC＋sin（B－A）＝sin2A，得sin（A＋B）＋sin（B－A）＝2sinAcosA，

即2sinBcosA＝2sinAcosA，

∴cosA·（sinA－sinB）＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，

当cosA＝0时，∵0<A<π，∴A＝，△ABC为直角三角形；

当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，

即△ABC为等腰三角形．

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．