【题目】已知无穷数列的前n项和为
,记
,
,…,
中奇数的个数为
.
(Ⅰ)若= n,请写出数列
的前5项;
(Ⅱ)求证:"为奇数,
(i = 2,3,4,...)为偶数”是“数列
是单调递增数列”的充分不必要条件;
(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求数列
的通项公式.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)代入的值,即可求得
,
,
,
,
.
(Ⅱ)根据题意,先证充分性和不必要性,分别作出证明.
(Ⅲ)分当为奇数和当
为偶数,两种情况进而推导数列的通项公式.
试题解析:
(Ⅰ)解: ,
,
,
,
.
(Ⅱ)证明:(充分性)
因为为奇数,
为偶数,
所以,对于任意,
都为奇数.
所以.
所以数列是单调递增数列.
(不必要性)
当数列中只有
是奇数,其余项都是偶数时,
为偶数,
均为奇数,
所以,数列
是单调递增数列.
所以“为奇数, 为偶数”不是“数列
是单调递增数列”的必要条件;
综上所述,“为奇数,
为偶数”是“数列
是单调递增数列” 的充分不必要条件.
(Ⅲ)解:(1)当为奇数时,
如果为偶数,
若为奇数,则
为奇数,所以
为偶数,与
矛盾;
若为偶数,则
为偶数,所以
为奇数,与
矛盾.
所以当为奇数时,
不能为偶数.
(2)当为偶数时,
如果为奇数,
若为奇数,则
为偶数,所以
为偶数,与
矛盾;
若为偶数,则
为奇数,所以
为奇数,与
矛盾.
所以当为偶数时,
不能为奇数.
综上可得与
同奇偶.
所以为偶数.
因为为偶数,所以
为偶数.
因为为偶数,且
,所以
.
因为,且
,所以
.
以此类推,可得.
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【题目】已知函数,关于函数
的性质,有以下四个推断:
①的定义域是
;
②的值域是
;
③是奇函数;
④是区间(0,2)内的增函数.
其中推断正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地区工会利用 “健步行”开展健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分(不足2千步不积分).记年龄不超过40岁的会员为
类会员,年龄大于40岁的会员为
类会员.为了解会员的健步走情况,工会从
两类会员中各随机抽取
名会员,统计了某天他们健步走的步数,并将样本数据分为
,
,
,
,
,
,
,
,
九组,将抽取的
类会员的样本数据绘制成频率分布直方图,
类会员的样本数据绘制成频率分布表(图、表如下所示).
(Ⅰ)求和
的值;
(Ⅱ)从该地区类会员中随机抽取
名,设这
名会员中健步走的步数在
千步以上(含
千步)的人数为
,求
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)设该地区类会员和
类会员的平均积分分别为
和
,试比较
和
的大小(只需写出结论).
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【题目】近年空气质量逐步雾霾天气现象增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸,呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知按性别采用分层抽样法抽取容量为10的样本,则抽到男士的人数为5.
(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整;
(Ⅱ)能否在犯错概率不超过的前提下认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由.
下面的临界值表供参考:
参考公式:
,其中
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【题目】对于项数为(
)的有穷正整数数列
,记
(
),即
为
中的最大值,称数列
为数列
的“创新数列”.比如
的“创新数列”为
.
(1)若数列的“创新数列”
为1,2,3,4,4,写出所有可能的数列
;
(2)设数列为数列
的“创新数列”,满足
(
),求证:
(
);
(3)设数列为数列
的“创新数列”,数列
中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积,求出所有的数列
.
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【题目】节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为
.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为
,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为
,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量
,可由函数模型
给出,其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
(参考数据:取)
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【题目】企业需为员工缴纳社会保险,缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资(单位:元)的缴纳,
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 270 | 330 | 390 | 460 | 550 |
某企业员工甲在2014年至2018年各年中每月所撒纳的养老保险数额y(单位:元)与年份序号t的统计如下表:
(1)求出t关于t的线性回归方程;
(2)试预测2019年该员工的月平均工资为多少元?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
(注:,
,其中
)
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【题目】某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为,后取的小球的标号为
,这样构成有序实数对
(1)写出这个试验的所有结果;
(2)求“第一次取出的小球上的标号为”的概率.
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