Question

（12分）（2011•福建）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

Answer 1

（Ⅰ）a=0.1，b=0.15，c=0.1（Ⅱ）P（A）==0.4

试题分析：（I）通过频率分布表得推出a+b+c=0.35．利用等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，分别求出b，c，然后求出a．
（II）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．
解：（I）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15
等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1
从而a=0.35﹣0.1﹣0.15=0.1
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．
（II）从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：
{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₁，y₁}，{x₁，y₂}，{x₂，x₃}，{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₃，y₁}，{x₃，y₂}，{y₁，y₂}
设事件A表示“从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：
{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₂，x₃}，{y₁，y₂}共4个，
又基本事件的总数为：10
故所求的概率P（A）==0.4
点评：本题考查概率、统计等基本知识，考查数据处理能力、运算能力、应用意识．考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想．