Question

【题目】顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点（3，6），
（1）求抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长．
（2）讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系，并求出相应的k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知：设抛物线的方程为：y2=2px，（p＞0），

由抛物线经过点（3，6），

∴36=2×p×3，解得：p=6，

∴抛物线方程为：y2=12x，

设直线y=2x﹣6与抛物线两交点A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：x2﹣9x+9=0，

由韦达定理可知：x1+x2=9，x1x2=9，

∴|AB|= = =15，

抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长15

（2）

解：当k=0时，y=1，直线与抛物线有一个交点，

当k≠0时，由 ，整理得：k2x2+2（k﹣6）x+1=0，

当△=4（k﹣6）2﹣4k2＞0，解得：k＜3，

∴直线与抛物线有两个交点，

△=4（k﹣6）2﹣4k2＜0，解得：k＞3，

直线与抛物线无交点，

当△=4（k﹣6）2﹣4k2=0，即k=3时，

直线与抛物线有一个交点，

综上可知：当k＞3时，直线y=kx+1与抛物线相离，即直线与抛物线无交点，

当k=3时，直线y=kx+1与抛物线相切，直线与抛物线有一个交点，

当k＜3且k≠0，直线与抛物线相交，有两个交点，

当k=0时，直线与抛物线相交，有一个交点

【解析】（1）由题意设椭圆的方程为：y2=2px，（p＞0），由抛物线经过点（3，6），代入即可求得p的值，求得抛物线方程，将y=2x﹣6代入y2=12x，由韦达定理求得x1+x2=9，x1x2=9，根据弦长公式可知：|AB|= ，即可求得抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长；（2）当k=0时，y=1，直线与抛物线有一个交点，当k≠0时，将y=kx+1代入抛物线方程，由△＞0，直线与抛物线有两个交点，求得k的取值范围，当△＜0，直线与抛物线相离，无交点，求得k的取值范围，当△=0，直线与抛物线相切，仅有几个交点，求得k的取值．