Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．

（1）求m2+k2的最小值；

（2）若|OG|2＝|OD||OE|，求证：直线l过定点．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见解析

【解析】

（1）设出直线方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，化简为一元二次方程的形式.根据直线和椭圆有两个交点得出判别式大于零，写出韦达定理，根据中点坐标公式求得点的坐标，由此求得直线的斜率和方程，根据点坐标求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值.（2）将直线的方程代入椭圆方程，求得点坐标，结合两点坐标以及两点间的距离公式，求得，代入列方程，解方程求得的关系，由此判断出直线过定点.

（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0），由题意，t＞0，

由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k2+1＞t2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得，所以，

由于E为线段AB的中点，因此，

此时，所以OE所在直线的方程为，

又由题意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，

所以m2+k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，

此时由△＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2+k2取最小值2．

（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为，

将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得，又，

由距离公式及t＞0得，，，

由|OG|2＝|OD||OE|，得t＝k，

因此直线l的方程为y＝k（x+1），所以直线l恒过定点（﹣1，0）．