【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在零点,证明:.
【答案】(1)在上是增函数,在上是减函数; (2).
【解析】
(1)先确定函数的定义域,然后求,进而根据导数与函数单调性的关系,判断函数 的单调区间;
(2)采用分离参数法,得,根据在上存在零点,可知有解,构造,求导,知在上存在唯一的零点,即零点k满足,进而求得,再根据有解,得证
(1)解:函数的定义域为,
因为,所以.
所以当时,,在上是增函数;
当时,,在上是减函数.
所以在上是增函数,在上是减函数.
(2)证明:由题意可得,当时,有解,
即有解.
令,则.
设函数,所以在上单调递增.
又,所以在上存在唯一的零点.
故在上存在唯一的零点.设此零点为,则.
当时,;当时,.
所以在上的最小值为.
又由,可得,所以,
因为在上有解,所以,即.
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【题目】已知三个关于x的不等式:①;②;③
(1)分别求出①和②的解集;
(2)若同时满足①和②的x值也满足③,求m的取值范围;
(3)若同时满足③的x至少满足①和②的一个,求m的取值范围.
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【题目】设函数,函数,,其中为常数且,令函数.
(1)求函数的表达式,并求其定义域;
(2)当时,求函数的值域;
(3)是否存在自然数,使得函数的值域恰为?若存在,试写出所有满足条件的自然数所构成的集合;若不存在,试说明理由.
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【题目】请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中,若问题(2)中的实数存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
已知集合.
(1)求集合;
(2)若是成立的______条件,判断实数是否存在?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎样分配资金才能获得最大收益?其最大收益为多少万元?
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【题目】党的十八提出:倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面(无区分),(如“富强、民主”写在同一张卡片的两面),从中任意抽取1张卡片,则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是( )
A.B.C.D.
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