Question

【题目】已知函数，其中为实常数.

（1）若当时，在区间上的最大值为，求的值；

（2）对任意不同两点，，设直线的斜率为，若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）讨论与0，1，e的大小关系确定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化为，不妨设，整理得，设，当时，，得，分离，求其最值即可求解a的范围

（1），令，则.

所以在上单调递增，在上单调递减.

①当，即时，在区间上单调递减，则，

由已知，，即，符合题意.

②当时，即时，在区间上单调递增，在上单调递减，

则，由已知，，即，不符合题意，舍去.

③当，即时，在区间上单调递增，则，

由已知，，即，不符合题意，舍去.

综上分析，.

（2）由题意，，则原不等式化为，

不妨设，则，即，

即.

设，则，

由已知，当时，不等式恒成立，则在上是增函数.

所以当时，，即，即恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号，所以.

故的取值范围是.