Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点为，，点在椭圆上，且面积的最大值为，周长为6.

（1）求椭圆的方程，并求椭圆的离心率；

（2）已知直线：与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得与中点的连线与直线垂直，求实数的取值范围

Answer 1

【答案】（1），椭圆的离心率（2）

【解析】

（1）利用基本量法，列方程，求解即可．

（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点的坐标，根据与中点的连线与直线垂直得出点横坐标的表达式，利用基本不等式得出的取值范围．

（1）由题意得，解之得，，，

所以椭圆的方程为，

椭圆的离心率；

（2）由得，

设，，则，，

所以线段中点的坐标为，

则，整理得，

因为，所以，当且仅当，即时上式取得等号，

此时取得最小值，

因为，所以，

所以实数的取值范围是.