Question

【题目】如图,直三棱柱中,分别为的中点.

(1)证明:平面;

(2)求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)法一：要证平面，只需证明即可，通过构造平行四边形可证之；

法二：可先证平面平面，利用面面平行的性质即可得到平面;

（2）法一：由于即为与平面所成的角，利用数据求之；

法二：（等积法）利用等积法计算出到平面的距离，从而要求的答案为：即可.

（1）法一：取中点，连接，在直三棱柱中，.

∵为中点，为中点，∴，

∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，

∴平面.

法二：取中点，连结，在直三棱柱中，.

∵为中点，为中点，∴，

∴四边形为平行四边形，∴.

又平面，平面，∴平面.

∵分别为中点，∴.

又平面，平面，∴平面.

平面平面.平面平面.

（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.

又∵，且，∴平面.

过作于.∵平面，∴.

又平面.

又即为与平面所成的角.

.

法二：（等积法）与平面所成的角相等.

连结，直三棱柱中，平面，∴.

又平面.

，.

设到平面的距离为，.

∵，即.

设与平面所成的角为，.