【题目】已知函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)若函数存在唯一的零点
,且
,则
的取值范围.
【答案】(1) 函数在
上单调递增,
在
上单调递减.(2)
.
【解析】
(1)先求得函数的导数,然后利用导数的正负求出函数的单调区间.(2)先令,得
,构造函数
,对
分成
三类,利用导数研究函数
的单调区间,根据函数
存在唯一的零点
,且
,列不等式,解不等式求得
的取值范围.
(1),
令,解得
.
当时,
;当
时,
.
故函数在
上单调递增,
在
上单调递减.
(2)令,可得
,令
,且
,
本题等价于函数存在唯一的零点
,且
.
当时,
,解得
,函数
有两个零点,不符合题意,
当时,
,令
,解得
或
,
当时,函数
在
上单调递增,
在
上单调递减,
又,又
,
,所以函数
存在负数零点,不符合题意
当时,函数
在
上单调递减,
在
上单调递增,
又,故
,解得
,
综上,的取值范围为
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆,如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于两点A,B,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=﹣3于点D(﹣3,m).
(1)求m2+k2的最小值;
(2)若|OG|2=|OD||OE|,求证:直线l过定点.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
的方程为
,曲线
是以坐标原点
为顶点,直线
为准线的抛物线.以坐标原点
为极点,
轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)分别求出直线与曲线
的极坐标方程:
(2)点是曲线
上位于第一象限内的一个动点,点
是直线
上位于第二象限内的一个动点,且
,请求出
的最大值.
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【题目】为了解某中学学生对数学学习的情况,从该校抽了名学生,分析了这
名学生某次数学考试成绩(单位:分),得到了如下的频率分布直方图:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的中位数(精确到);
(3)在这名学生的数学成绩中,从成绩在
的学生中任选
人,求次
人的成绩都在
中的概率.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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【题目】已知椭圆的右焦点为F,过点
的直线l与E交于A,B两点.当l过点F时,直线l的斜率为
,当l的斜率不存在时,
.
(1)求椭圆E的方程.
(2)以AB为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】已知函数。
(Ⅰ)求函数在区间
上的最大值;
(Ⅱ)设在(0,2)内恰有两个极值点,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)设,方程
在区间
有解,求实数
的取值范围。
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【题目】在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )
A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品
C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品
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