Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求ω，φ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得 =π，∴ω=2．
∵图象的一条对称轴是直线，
∴2cos（2×+φ）=±2．
再由，-π＜φ＜0可得 φ=-，
∴函数f（x）=2cos（2x-）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x-≤2kπ+π，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．
（Ⅲ）列表：

x	0								π
2x-	-	0				π
f（x）		2		0		-2	-	0

画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象，如图所示：


分析：（Ⅰ）由周期求得ω=2，由图象的对称轴方程以及φ的范围求出 φ=-，从而得到 函数f（x）=2cos（2x-）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x-≤2kπ+π，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）列表，根据列表画出函数的图象．
点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．