Question

（本小题12分）

如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．

（I）求证：；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在直线是否存在一点，使直线与面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）（3）

解析:

该几何体可以视作从正方体中取出而得，如图所示．因此采用补形的思想方法入手解答．

（I）作面于，连结，，，则四边形是正方形，且，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图．                                              1分

则，，，，

易得，                          3分

（II）设平面的法向量为，则由且

知

则可取                       5分

同理可求得平面的一个法向量为       6分

由图可以看出，二面角的大小应等于

则，即所求二面角的余弦值为．    8分

（III）设是线段上一点，则，．

易知平面的一个法向量可取，要使直线与平面成 角，则与的夹角为或，                           

所以                 10分

解得，则

故线段上存在点，且时，直线与平面成角     12分