Question

18．设f（x）=e^t（x-1）-tlnx，（t＞0）
（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；
（Ⅱ）求证：f（x）≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，令$g（x）={e^{t（x-1）}}-\frac{1}{x}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）
若t=1，则f（x）=e^x-1-lnx，${f^'}（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$．         …（2分）
因为f′（1）=0，…（3分）
且0＜x＜1时，${e^{x-1}}＜{e^0}=1＜\frac{1}{x}$，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）
x＞1时，${e^{x-1}}＞{e^0}=1＞\frac{1}{x}$，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）
所以x=1是函数f（x）的极小值点；                       …（6分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.${f^'}（x）=t{e^{t（x-1）}}-\frac{t}{x}=t（{e^{t（x-1）}}-\frac{1}{x}）$；  …（7分）
令$g（x）={e^{t（x-1）}}-\frac{1}{x}$，则${g^'}（x）=t{e^{t（x-1）}}+\frac{1}{x^2}＞0$，故g（x）单调递增． …（8分）
又g（1）=0，…（9分）
当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，
即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，
即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）
所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．