Question

7．已知函数f（x）=lnx-ax+a，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=-1时，关于x的方程2m[f（x）-a]=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的递增区间即可；
（Ⅱ）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x²有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a＞0时，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
综上，a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，
a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增；
（Ⅱ）因为方程2m[f（x）-a]=x²有唯一实数解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
则g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2mx-2m}{x}$，令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，所以x₁=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$＜0（舍去），x₂=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$，
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增，
当x=x₂时，g（x）取最小值g（x₂）．                
则 $\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{2}）=0}\\{g′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2ml{nx}_{2}-2{mx}_{2}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}-{mx}^{2}-m=0}\end{array}\right.$，
所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即 $\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$=1，
解得：m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．