Question

10．已知函数f（x）=x-（a+1）lnx-$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 （Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．         
当a=1时，f（x）=x-2lnx-$\frac{1}{x}$，
函数f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a+1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a，
①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，
所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，
所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；
③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，
所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；
④当a=1时，
由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；
当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；
当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．