Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{7}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（n＞0）有相同的焦点，则m+n的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 18
• D． 36

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆双曲线的几何性质，可得25-m²=7+n²，变形可得：m²+n²=18，进而由基本不等式的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{7}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（n＞0）有相同的焦点，
则有25-m²=7+n²，
变形可得：m²+n²=18，
又由$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$≥（$\frac{m+n}{2}$）²，
则有（$\frac{m+n}{2}$）²≤9，
即m+n≤6，
则m+n的最大值是6；
故选：B．

点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，涉及基本不等式的性质，关键是得到m²与n²的关系．