Question

11．定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（|x-1|-1），且对任意实数 x∈[2ⁿ-2，2ⁿ⁺¹-2]（n∈N^*，n≥2），都有f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1），若方程f（x）-log _a x=0有且仅有三个实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 作出y=f（x）和y=log_ax的函数图象，根据图象交点个数列不等式组，解出a即可．

解答 解：作出y=f（x）的函数图象如图所示：

∵方程f（x）-log _a x=0有且仅有三个实根，
∴y=f（x）与y=log_ax的函数图象有三个交点，
当a＞1时，显然两图象只有1个交点，不符合题意；
当0＜a＜1时，若两图象有3个交点，
则$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＞-2}\\{lo{g}_{a}10＜-1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{10}$＜a＜$\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．