Question

1．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若x=x₀（x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]）为f（x）的一个零点，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式化简函数为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合正弦函数的性质可得值域
（Ⅱ）根据x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出内层函数的范围，求出零点f（x₀）的值，即可求sin2x₀的值．

解答 解：函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$），x∈R
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+sin-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$
值域为：[$-\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
（Ⅱ）令f（x₀）=0，可得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{4}$＜0
∵x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x₀-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，0]，
cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$
那么：sin2x₀=sin[（2x₀-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$）-cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．