Question

12．已知函数f（x）=（x²-x）e^x
（1）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=g（x），并证明f（x）≥g（x）
（2）若方程f（x）=m（m∈R）有两个正实数根x₁，x₂，求证：|x₁-x₂|＜$\frac{m}{e}$+m+1．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，可得切线方程，构造函数，证明函数的单调性，即可证明结论；
（2）（x²-x）e^x≥e（x-1），设y=m与y=-x和y=e（x-1）的两个交点的横坐标为x₃，x₄，x₃＜x₁＜x₂＜x₄，即可证明结论．

解答 证明：（1）f′（x）=（x²+x-1）e^x，f′（1）=e，f（1）=0，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=g（x）=e（x-1），
设h（x）=f（x）-g（x），则h′（x）=（x²+x-1）e^x-e，h″（x）=（x²+3x）e^x，
令h″（x）=0，可得x=-3或x=0，函数y=h′（x）在（-∞，-3），（0，+∞）上单调递增，
在（-3，0）上单调递减，
∵$h′（-3）=\frac{5}{{e}^{3}}-e＜0，h′（1）=0$，
∴x∈（-∞，1），h′（x）＜0，y=h（x）单调递减；
x∈（1，+∞，），h′（x）＞0，y=h（x）单调递增，
∴h（x≥h（1）=0，
∴f（x）≥g（x）；
（2）∵y=f（x）在x=0处的切线方程为y=-x，则（x²-x）e^x≥-x
又（x²-x）e^x≥e（x-1），设y=m与y=-x和y=e（x-1）的两个交点的横坐标为x₃，x₄，
∴x₃＜x₁＜x₂＜x₄，
∴|x₁-x₂|＜x₄-x₃=$\frac{m}{e}$+m+1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，属于中档题．