Question

13．若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x²-2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是[e-2，2]．

Answer 1

分析 若f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则x∈[1，e]时，$\left\{\begin{array}{l}f（x）≥g（x）\\ f（x）≤h（x）\end{array}\right.$恒成立，进而可得答案．

解答 解：若f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，
则x∈[1，e]时，$\left\{\begin{array}{l}f（x）≥g（x）\\ f（x）≤h（x）\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}kx≥{x}^{2}-2x\\ kx≤（x+1）（lnx+1）\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}k≥{x}^{\;}-2\\ k≤\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}\end{array}\right.$恒成立，
若k≥x-2在区间[1，e]上恒成立，则k≥e-2；
令$v（x）=\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，若$k≤\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在区间[1，e]上恒成立，则k≤v（x）_min，
$v′（x）=\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令u（x）=x-lnx，则u′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x∈[1，e]时，u′（x）≥0恒成立，
则u（x）=x-lnx在[1，e]上为增函数，u（x）≥u（1）=1恒成立，
即$v′（x）=\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
故$v（x）=\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在[1，e]上为增函数，
v（x）≥v（1）=2恒成立，
故k≤2，
综上可得：k∈[e-2，2]，
故答案为：[e-2，2]

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的最值，函数恒成立问题，新定义“任性函数”，难度中档．