Question

4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2．，且长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P（2，0），过椭圆C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程，由a=$\sqrt{2}$b，a²=b²+1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程的标准方程；
（2）由向量数量积的坐标运算求得$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，及函数的最值即可求得$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$的最小值，即可求得λ的最小值．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由2c=2，则c=1，
由2a=$\sqrt{2}$×2b，则a=$\sqrt{2}$b，①
由a²=b²+c²，即a²=b²+1，②
解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂，
当直线l垂直于x轴时，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂，且y₁²=$\frac{1}{2}$，
此时，$\overrightarrow{PA}$=（-3，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（-3，y₂）=（-3，-y₁），
∴$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$=（-3）²-y₁²=$\frac{17}{2}$，
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k²（x₁+1）（x₂+1），
=（1+k²）x₁x₂+（k²-2）（x₁+x₂）+4+k²，
=（1+k²）•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（k²-2）•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4+k²
=$\frac{17{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（2{k}^{2}+1）}$＜$\frac{17}{2}$，
要使不等式$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$≤λ（λ∈R）恒成立，
只需λ≥（$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$）_max=$\frac{17}{2}$，
∴λ的最小值为$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查实数值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用，属于中档题．