Question

9．设直线l₀过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点且与抛物线分别相交于A₀，B₀两点，已知|A₀B₀|=6，直线l₀的倾斜角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设N是直线l：y=x-4上的任一点，过N作C的两条切线，切点分别为A，B，试证明直线AB过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）求得直线l₀的斜率及方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）由题意可知l₁和l₁的方程，由l₁l₂都过N（x₀，y₀）点，代入直线的方程，即可求得直线AB的方程为：x₀x=2（y₀+y），又直线l：y=x-4过N点，则y₀=x₀-4，代入整理可得x₀（x-2）-2（y-4）=0即可求得直线恒过定点．

解答 解：（1）抛物线的焦点坐标（0，$\frac{p}{2}$），
由直线l₀的倾斜角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则l₀的斜率k=tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设直线l的方程y-$\frac{p}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即x=$\sqrt{2}$（y-$\frac{p}{2}$），设A₀（x₁，y₁），B₀（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}（y-\frac{p}{2}）}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$．整理得：2y²-4py+$\frac{{p}^{2}}{2}$=0，
则y₁+y₂=2p，
由抛物线的弦长公式可知：|A₀B₀|=y₁+y₂+p=3p=6，
则p=2
抛物线C的方程为：x²=4y；
（2）设N（x₀，y₀）是直线l：y=x-4上任意一点，过N作抛物线的切线分别为l₁，l₂，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则l₁的方程为：xx₁=2（y+y₁）  ①
l₂的方程为：xx₂=2（y+y₂）    ②
因为l₁l₂都过N（x₀，y₀）点，所以有x₀x₁=2（y₀+y₁），③
x₀x₂=2（y₀+y₂），④
③和④表示A，B两点均在直线x₀x=2（y₀+y），
即直线AB的方程为：x₀x=2（y₀+y），又y₀=x₀-4，
所以：x₀x=2（x₀-4+y），
所以直线AB的方程可化为：x₀（x-2）+（-2y+8）=0，x₀（x-2）-2（y-4）=0
即直线AB恒过（2，4）点．

点评 本题考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点弦公式，抛物线切线方程的应用，属于中档题．