Question

19．平面向量$\overrightarrow a=（3，4），\overrightarrow b=（4，3），\overrightarrow c=λ\overrightarrow a-\overrightarrow b（λ∈R）$，且$\overrightarrow c$与$\vec a$的夹角等于$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的夹角，则λ=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -2
• D． -1

Answer 1

分析 先求得$\overrightarrow{c}$的坐标，再根据cos＜$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$＞=cos＜$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$＞，即 $\frac{3（3λ-4）+4（4λ-3）}{|\overrightarrow{c}|•5}$=$\frac{4（3λ-4）+3（4λ-3）}{|\overrightarrow{c}|•5}$，化简可得λ的值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{c}$=（3λ，4λ）-（4，3）=（3λ-4，4λ-3），cos＜$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$＞=cos＜$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$＞，
∴$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{b}|}$，即$\frac{3（3λ-4）+4（4λ-3）}{|\overrightarrow{c}|•5}$=$\frac{4（3λ-4）+3（4λ-3）}{|\overrightarrow{c}|•5}$，化简可得λ=-1，
故选：D．

点评 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．