Question

7．已知a，b∈（0，e），且a＜b，则下列式子中正确的是（　　）

• A． alnb＜blna
• B． alnb＞blna
• C． alna＞blnb
• D． alna＜blnb

Answer 1

分析 先构造函数$f（x）=\frac{lnx}{x}$，利用导数判断函数在（0，e）上的单调性，即可得到alnb＞blna，再构造函数g（x）=xlnx，判断函数的单调性，即可解决．

解答 解：设$f（x）=\frac{lnx}{x}$，则$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
在（0，e）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（a）＜f（b），即$\frac{lna}{a}＜\frac{lnb}{b}，blna＜alnb$；
设g（x）=xlnx，则g'（x）=1+lnx，
当$x∈（0，\frac{1}{e}）$时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当$x∈（\frac{1}{e}，e）$时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴C，D均不正确，
故选：B

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及导数的应用，属于中档题．