Question

16．已知$sin（{α+\frac{π}{3}}）=-\frac{4}{5}$，$-\frac{π}{2}＜α＜0$，则cosα=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 先确定α+$\frac{π}{3}$的范围，求得cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，进而利用余弦的两角和公式求得答案．

解答 解：∵$-\frac{π}{2}＜α＜0$，$sin（{α+\frac{π}{3}}）=-\frac{4}{5}$，
∴$α+\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（$α+\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=cos（α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=cos（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+（-\frac{4}{5}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．
故答案为：$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数，同角三角函数基本关系的应用．考查了学生对基础知识的综合运用，属于基础题．