Question

6．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-b{x^2}+2x+1，\;\;（{x∈R}）$．
（1）若$b=\frac{3}{2}$，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若x=-1是函数y=f（x）的一个极值点，试判断此时函数y=f（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据x=-1是函数y=f（x）的一个极值点，求出b的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点个数即可．

解答 解：f'（x）=x²-2bx+2．
（1）$b=\frac{3}{2}$时，f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．
所以，$b=\frac{3}{2}$时函数的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．
令f'（x）＜0解得1＜x＜2．
所以，$b=\frac{3}{2}$时函数的单调递减区间为（1，2）．
（2）因为x=-1是函数y=f（x）的一个极值点，
则f'（-1）=0，故：1+2b+2=0解得：$b=-\frac{3}{2}$，
此时f'（x）=x²-2bx+2=x²+3x+2，
令f'（x）=0解得：x=-2或x=-1．
则x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下．

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

故此时x=-1时，f（x）有极小值$f（{-1}）=\frac{1}{6}＞0$；
x=-2时，f（x）有极大值$f（{-2}）=\frac{1}{3}＞0$；
则当x＞-2时，f（x）≥f（-1）＞0，显然函数在（-2，+∞）上无零点．
又$f（{-3}）=-\frac{1}{2}＜$，（也可取x=-4等），则f（-3）f（-2）＜0，
结合函数在（-∞，-2）上单调递增，故由零点存在定理知，函数在（-∞，-2）上必有唯一零点．
综上：若x=-1是函数y=f（x）的一个极值点，则此时函数y=f（x）在R上有唯一零点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．