Question

16．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（1）若b=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，求角B；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理直接求解B的大小．
（2）利用三角形内角和定理，消去C，利用和与差公式打开，化简可得A与B的关系，即可求解．

解答 解：（1）c=2，C=$\frac{π}{3}$．b=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
由正弦定理：得$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{sinB}$，
可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜B＜120°，
∴B=45°．
（2）由sinC=sin（A+B），
∴sinC+sin（B-A）=2sin2A，即sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，
可得：2sinBcosA=4sinAcosA，即cosA（sinB-2sinA）=0，
∴cosA=0或sinB=2sinA，
当cosA=0时，
A=$\frac{π}{2}$，
∵C=$\frac{π}{3}$．
∴B=$\frac{π}{6}$，
△ABC的面积S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
当sinB=2sinA，即b=2a时，
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC．
可得：ab=$\frac{8}{3}$，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

点评 本题考查了正余弦定理，三角形内角和定理，以及和与差公式的运用和计算能力．属于基础题