Question

1．观察下列三角形数表，数表（1）是杨辉三角数表，数表（2）是与数表（1）有相同构成规律（除每行首末两端的数外）的一个数表

对于数表（2），设第n行第二个数为a_n（n∈N^*）（如a₁=2，a₂=4，a₃=7）
（I ）归纳出a_n与a_n-1（n≥2，n∈N^*）的递推公式（不用证明），并由归纳的递推公式，求出{a_n}的通项公式a_n
（Ⅱ）数列{b_n}满足：（a_n-1）•b_n=1，求证：b₁+b₁+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）归纳a_n=a_n-1+n，利用迭代法即可求出通项公式，
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$），利用裂项求和和放缩法即可证明．

解答 解：（Ⅰ）依题意当n≥2时可归纳a_n=a_n-1+n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，a₁=2，
∴a_n=n+（n-1）+…+2+2=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$+2=$\frac{1}{2}$（n²+n）+1，
检验当n=1时，上式成立，
∴{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2}$（n²+n）+1，
（Ⅱ）∵（a_n-1）•b_n=1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$），
∴b₁+b₁+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$）]=2（-1$\frac{1}{n+1}$）＜2

点评 本题考查数列的通项公式，数列求和，放缩法，证明不等式，考查计算能力．