Question

11．已知抛物线y²=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=90°，弦AB中点M在准线l上的射影为M₁，则$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MM₁|=|AQ|+|BP|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$的最大值．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ　　
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MM₁|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（$\frac{a+b}{2}$） ²=$\frac{1}{2}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
所以$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故答案为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．