Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=asin2B．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{10}$，a+c=ac，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理和二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得sinBsinA=2sinAsinBcosB，进而可求cosB=$\frac{1}{2}$，结合B是三角形内角，可求B的值．
（Ⅱ）由已知利用余弦定理可求b²=（a+c）²-3ac，又b=$\sqrt{10}$，a+c=ac，即可解得ac的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理和bsinA=asin2B得sinBsinA=sinAsin2B，
所以sinBsinA=2sinAsinBcosB，
所以cosB=$\frac{1}{2}$．
又B是三角形内角，
所以B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{3}$，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
又b=$\sqrt{10}$，a+c=ac，
∴（ac）²-3ac=10，（ac-5）（ac+2）=0，
∴ac=5或ac=-2（舍去）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．