Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow{b}$=（3，-4tanα）α∈（0，$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（2）求$sin（\frac{3π}{2}+2α）+cos（2α-π）$．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量垂直的性质可求sinα，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而可求$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（1，7）$，进而计算得解．
（2）利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求结合cosα的值即可计算得解．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4×3+5cosα×（-4tanα）=12-20sinα=0，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\frac{4}{5}，tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$．
（1）∴$\overrightarrow a=（4，4），\overrightarrow b=（3，-3）$，
∴$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（1，7）$，
∴$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{{1^2}+{7^2}}=5\sqrt{2}$．
（2）$sin（\frac{3π}{2}+2α）+cos（2α-π）=-cos2α-cos2α=-2cos2α=-2（2{cos^2}α-1）=-\frac{14}{25}$．

点评 本题主要考查了平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．