Question

7．有下列四个命题：
①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sinβ；
②若函数y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，则a=$\frac{1}{2}$；
③函数y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$是奇函数；
④函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是增函数；
其中正确命题的序号为④．

Answer 1

分析 ①举例说明，令α=30°，β=-300°满足均为第一象限角，且α＞β，但sin 30°＜sin （-300°），可判断①错误；
②若函数y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，则a=±$\frac{1}{2}$，可判断②错误；
③利用奇函数的定义可判断函数y=f（x）=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$不是奇函数，可判断③错误；
④利用余弦函数y=cosx在[0，π]上是减函数，知y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函数，可判断④正确；

解答 解：对于①，α=30°，β=-300°均为第一象限角，且α＞β，但sin 30°=$\frac{1}{2}$＜sin（-300°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故①错误；
对于②，若函数y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，即T=$\frac{2π}{|a|}$=4π，则a=±$\frac{1}{2}$，故②错误；
对于③，因为函数f（-x）=$\frac{sin（-2x）-sin（-x）}{sin（-x）-1}$=$\frac{sin2x-sinx}{sinx+1}$≠-$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$=-f（x），
所以函数y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$不是奇函数，故③错误；
对于④，因为y=cosx在[0，π]上是减函数，
所以函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函数，故④正确；
综上所述，正确命题的序号为④．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，突出考查正弦函数与余弦的周期性、奇偶性与单调性、考查转化思想与推理运算能力，属于中档题．