Question

16．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2^x为定义在[-1，2]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x²+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 p：f（x）=m+2^x为定义在[-1，2]上的“局部奇函数”，可得：?x∈[-1，2]，使得m+2^-x=-（m+2^x），化为：m=-$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），利用单调性可得其范围．
q：曲线g（x）=x²+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点，则△＞0，解得m范围．根据“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p或q一真一假．即可得出．

解答 解：∵p：f（x）=m+2^x为定义在[-1，2]上的“局部奇函数”，∴?x∈[-1，2]，使得m+2^-x=-（m+2^x），
化为：m=-$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）∈$[-\frac{5}{4}，-1]$．
q：曲线g（x）=x²+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点，则（5m+1）²-4＞0，解得$m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$；
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p或q一真一假．
p真q假，则$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}≤m≤-1}\\{-\frac{3}{5}≤m≤\frac{1}{5}}\end{array}}\right.$，得无交集；
若p假q真，则$\left\{{\begin{array}{l}{m＞-1或m＜-\frac{5}{4}}\\{m＞\frac{1}{5}或m＜-\frac{3}{5}}\end{array}}\right.$，得$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$．
综上知m的取值范围为：$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．