Question

5．已知函数$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）•sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a，b，c成等比数列，求f（B）的范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可计算得解．
（2）由等比数列的性质可得：b²=ac，由余弦定理可求cosB$≥\frac{1}{2}$，可得范围$0＜B≤\frac{π}{3}$，进而可求范围$2B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，利用正弦函数的性质可求$f（B）=-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{-2，-1}]$，即可得解．

解答 解：（1）$f（x）=4sinx（{\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx}）-1=-（{1-2{{sin}^2}x}）-2\sqrt{3}sinxcosx$=$-cos2x-\sqrt{3}sin2x=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
可得：函数y=f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}$．
（2）因为a，b，c成等比数列，可得：b²=ac，
在△ABC中，由余弦定理有：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
又由0＜B＜π，得$0＜B≤\frac{π}{3}$．
又$f（B）=-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）$，
由$0＜B≤\frac{π}{3}$，得$2B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
则$sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
故$f（B）=-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{-2，-1}]$，
故f（B）的取值范围是[-2，-1]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，等比数列的性质，余弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．