Question

12．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}bsinA-acosB-2a=0$．
（1）求∠B的大小；
（2）若$b=\sqrt{7}，△ABC$的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理，将边转化为角，结合两角差的正弦公式，化简后结合特殊角的正弦值，计算即可得到B的值；
（2）由三角形的面积公式，可得ac，再由余弦定理，结合配方可得a+c的值，即可得到所求三角形的周长．

解答 解：（1）由$\sqrt{3}bsinA-acosB-2a=0$，
由正弦定理可得，$\sqrt{3}$sinBsinA-sinAcosB-2sinA=0，
sinA＞0可得，$\sqrt{3}$sinB-cosB=2，
即有2sin（B-$\frac{π}{6}$）=2，
可得B-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
由B为三角形的内角，可得k=0，B=$\frac{2π}{3}$；
（2）$b=\sqrt{7}，△ABC$的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
则S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有ac=2，
又b²=a²+c²-2accos$\frac{2π}{3}$=（a+c）²-2ac+ac=7，
可得a+c=3，
则△ABC的周长为a+c+b=3+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查解三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．