Question

20．已知$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$f（a）=cosα•\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}+sinα•\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$．
（1）化简f（a）；  
（2）若$f（a）=\frac{3}{5}$，求$\frac{sinα}{1+cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得sinα∈（0，1），cosα∈（0，1），利用同角三角函数基本关系式化简化简得解．
（2）由已知可求sinα+cosα=$\frac{7}{5}$，两边平方可得sinαcosα=$\frac{12}{25}$，将所求通分后化简即可计算得解．

解答 解：（1）∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴sinα∈（0，1），cosα∈（0，1），
∴$f（a）=cosα•\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}+sinα•\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$=cosα•$\sqrt{\frac{（1-sinα）^{2}}{1-si{n}^{2}α}}$+sinα•$\sqrt{\frac{（1-cosα）^{2}}{1-co{s}^{2}α}}$=1-sinα+1-cosα=2-sinα-cosα．
（2）∵$f（a）=\frac{3}{5}$=2-sinα-cosα，
∴sinα+cosα=$\frac{7}{5}$，
∴两边平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，解得：sinαcosα=$\frac{12}{25}$，
∴$\frac{sinα}{1+cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}$=$\frac{sinα（1+sinα）+cosα（1+cosα）}{（1+cosα）（1+sinα）}$=$\frac{1+sinα+cosα}{1+sinα+cosα+sinαcosα}$=$\frac{1+\frac{7}{5}}{1+\frac{7}{5}+\frac{12}{25}}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．