Question

9．已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k恒成立，则实数c的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 ${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$，可得n≥2时，S_n-S_n-1=$2\sqrt{{S}_{n}}$-1，化为：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．利用等差数列的通项公式可得S_n=n²．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k恒成立，则2k=m+n，（m+1）²+（n+1）²＞c（k+1）²，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$，∴n≥2时，S_n-S_n-1=$2\sqrt{{S}_{n}}$-1，化为：$（\sqrt{{S}_{n}}-1）^{2}$=S_n-1＞0，解得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．
n=1时，${a}_{1}=2\sqrt{{a}_{1}}$-1，解得a₁=1=S₁．
∴数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差数列，公差为1．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n．
∴S_n=n²．
设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k恒成立，
则2k=m+n，（m+1）²+（n+1）²＞c（k+1）²，
∵2[（m+1）²+（n+1）²]≥（m+1+n+1）²=（2k+2）²=4（k+1）²．
∴（m+1）²+（n+1）²≥2（k+1）²，
则实数c的取值范围是c≤2．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．