Question

17．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|，则|$\overrightarrow{a}$|的取值范围是[$\frac{4}{3}，4$]．

Answer 1

分析 由已知得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=4|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{|}^{2}$，从而3|$\overrightarrow{a}$|²-16|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞+16=0，取cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=1，能求出|$\overrightarrow{a}$|的取值范围．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=4|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow{b}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}+16-8|\overrightarrow{a}{|•|\overrightarrow{b}|•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞}^{\;}$，
∴3|$\overrightarrow{a}$|²-16|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞+16=0，
取cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=1，得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{4}{3}$，或|$\overrightarrow{a}$|=4，
∴|$\overrightarrow{a}$|的取值范围是[$\frac{4}{3}，4$]．
故答案为：[$\frac{4}{3}$，4]．

点评 本题考查向量的模、向量的数量积等基础知识，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．