Question

2．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点（0，-b），（a，0）的直线与原点的距离为$\sqrt{2}$，M（x₀，y₀）是椭圆上任一点，从原点O向圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若记直线OP，OQ的斜率分别为k₁，k₂，试求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式可知a²=2b²，利用点到直线的距离公式$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，可知k₁，k₂是方程k²（2-x₀²）+2kx₀y₀+2-y₀²=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理即可求得k₁k₂，由R（x₀，y₀）在椭圆C上，y₀²=3-$\frac{1}{2}$x₀²，代入即可求得k₁k₂的值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即a²=2b²，①
设过点（0，-b），（a，0）的直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1$，
即bx-ay-ab=0，
因为直线与原点的距离为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，整理得：$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=6}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，与圆M相切，
由直线和圆相切的条件：d=r，可得$\frac{丨{{k}_{1}x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{丨{k}_{2}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
平方整理，可得k₁²（2-x₀²）+2k₁x₀y₀+2-y₀²=0，
k₂²（2-x₀²）+2k₂x₀y₀+2-y₀²=0，
∴k₁，k₂是方程k²（2-x₀²）+2kx₀y₀+2-y₀²=0的两个不相等的实数根，
k₁k₂=$\frac{2-{y}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$，
由点R（x₀，y₀）在椭圆C上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，即y₀²=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}$）=3-$\frac{1}{2}$x₀²，
∴k₁k₂=$\frac{2-3+\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
k₁k₂的值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，点到直线的距离公式，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．