Question

10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=$\frac{1}{3}$，c=3b，且△ABC面积S_△ABC=$\sqrt{2}$．
（1）求边b．c；
（2）求边a并判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc的值，又c=3b，即可解得b，c的值．
（2）由余弦定理可求a的值，由勾股定理即可得解△ABC为直角三角形．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵cos A=$\frac{1}{3}$，
∴sin A=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．--------------（2分）
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\sqrt{2}$，
∴bc=3．----------------（4分）
又c=3b，
∴b=1，c=3．-----------------------------------------（6分）
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，-----（8分）
得：a²=1+9-2×$3×\frac{1}{3}$=8，
故a=2$\sqrt{2}$．-----（10分）
由c²=a²+b²知△ABC为直角三角形．-----------（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．