Question

1．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，点（a_n，S_n）都在函数$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x$的图象上．
（1）求数列{a_n}的首项a₁和通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足${log_2}{b_n}=n+{log_2}（{2{a_n}-1}）（{n∈{N^*}}）$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）已知数列{c_n}满足${c_n}=\frac{4n-6}{{{T_n}-6}}-\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$．若对任意n∈N^*，存在${x_0}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，使得c₁+c₂+…+c_n≤f（x）-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式，令n=1，求出首项；再将n换为n+1，两式相减，化简即可得到所求通项公式；
（2）运用对数的运算性质可得b_n=（2n-1）•2ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；
（3）求得${c_n}=\frac{4n-6}{{{T_n}-6}}-\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．运用分组求和和裂项相消求和，可得M_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．讨论{M_n}的单调性，可得最大值M₄，求得f（x）-a的最大值，由题意可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题知，当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁，所以a₁=1（0舍去）．
S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n，所以S_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1²+$\frac{1}{2}$a_n+1，两式相减得到
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
因为正项数列{a_n}，所以a_n+1-a_n=1，
数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a_n=n．
（2）由（1）知a_n=n，{b_n}满足${log_2}{b_n}=n+{log_2}（{2{a_n}-1}）（{n∈{N^*}}）$=n+log₂（2n-1），
所以b_n=（2n-1）•2ⁿ，
因此前n项和T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
由①-②得到-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．
（3）由（2）知T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
${c_n}=\frac{4n-6}{{{T_n}-6}}-\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
令M_n为数列{c_n}的前n项和，
易得M_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
因为c₁=0，c₂＞0，c₃＞0，c₄＞0，当n≥5时，c_n=$\frac{1}{n（n+1）}$[$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$-1]，
而$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$-$\frac{（n+1）（n+2）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{（n+1）（n-2）}{{2}^{n+1}}$＞0，得到
$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$≤$\frac{5×6}{{2}^{5}}$＜1，所以当n≥5时，c_n＜0，所以M_n≤M₄=$\frac{1}{4+1}$-$\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{16}$．
又x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，f（x）-a=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-a递增，可得其最大值为$\frac{3}{8}$-a．
因为对任意的n∈N*，存在x₀∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，使得M_n≤f（x）-a成立．
所以$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{16}$≤$\frac{3}{8}$-a，
解得a≤$\frac{19}{80}$．

点评 本题考查数列的递推式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，同时考查等比数列的求和公式的运用，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．